1. Abstract
위상 최적설계(topology optimization)는 1960 년대 Rozvany 와 Prager 에 의해 레이아웃 최적설계라는 이름으로 시작되었습니다. 위상 최적설계가 나오기 전에는 구조물의 단면계수를 다루는 크기 최적설계(sizing optimization)나 외형을 변경시키는 형상 최적설계(shape optimization)가 주류였습니다. 위상 최적설계는 앞선 두 기법에 비하여 초기 설계가 없이도 적용 시킬 수 있으므로 제품의 개념 설계 단계에서 유용하게 사용할 수 있습니다.
비행기 하부의 단면을 설계한다고 가정을 해봅니다. 전통적인 방법은 직사각형 단면내부에 적절한 크기 및 개수의 구멍을 뚫어 중량을 감소 시키면서 요구되는 강성을 맞추게 됩니다. 만약 이 문제를 위상 최적화를 이용하여 적용한다면 직사각형으로부터바로 내부 구멍의 개수와 그 형상을 동시에 구할 수 있으며, 설계 기준 역시 높게 만족시킬 수 있습니다.
포드 자동차의 경우에도, 차체나 부품의 보강재 및 비드 설계, 인스트루먼트 판넬 설계, 차체의 용접점 위치 및 개수 설계, 현가 장치 및 기타 보강재 설계에도 위상최적설계를이용하여 제품에 적용되고 있습니다
2. 최적설계의 개념과 분류
구조설계란 일반적으로 내적인 안전성(safety)이나 외적 안정성(stability)등의 설계사양(설계제약조건)을 만족하기 위한 설계를 의미합니다. 설계자의 경험이나 직관에 의존하더라도 초기설계가 한번에 모든 설계제약조건을 만족하는 경우는 드물고, 여러 번의 설계변경/성능확인 절차를 거치게 됩니다. 시행착오를 거쳐 설계제약조건을 만족하는설계안을 찾았더라도 안전률이 너무 높아 비 경제적인 설계가 되는 경우가 많습니다.
따라서, 최적설계는 단순히 설계 제약조건을 만족하는 설계안을 제시해주는 자동 설계가 아닌, 경제성과 안전성을 모두 고려한 설계안을 제시하여 설계자가 최적의 설계안을 찾을 수 있도록 도와주는 도구라고 할 수 있습니다.
최적설계는 최적화 이론을 설계에 적용한 개념이기 때문에, 기본적으로 최적화 이론에서 사용하는 문제정식화 과정을 따라야 합니다. 올바른 최적설계를 수행하기 위해서는 최적화 정식화 과정에서 요구하는 다음 세 가지를 명확히 정의해야 합니다.
- 설계변수(Design Variable)
- 제약조건(Constraint)
- 목적함수(Objective Function)
일반 설계 과정에서는 설계변수와 제약조건만을 고려하기 때문에, 목적함수를 추가로 정의해야 최적설계 문제를 구성할 수 있습니다. 이 세가지 구성 요소를 사용하여 다음과 같은 최적화 문제를 정의할 수 있습니다.
최적설계는 설계변수의 종류에 따라 크게 치수(Size)최적화, 형상(Shape)최적화, 위상(Topology)최적화로 구분할 수 있습니다.
[표 1] 시간에 따라 변동하는 하중
3. 위상최적화 이론
3-1. 형상밀도
위상 최적화를 이해하기 위해서는 우선, 위상 최적화의 유일한 설계 변수인 요소의 형상 밀도가 무엇인지 이해해야 합니다. 형상밀도란, 재료가 공간상에 배치되는 것을 표현하기 위한 가상의 값으로, 재료가 배치되지 않아야 할 부분의 요소들은 밀도가 0(혹은 0 에 가까운 작은 값), 재료를 배치해야 하는 부분은 1 의 값을 가집니다. 따라서, 모든 요소에 대해서 형상밀도가 0~1 로 정해지면 전체적인 재료 분포 혹은 레이아웃이 결정됩니다.
[그림 1] 형상 밀도의 개념
3-2. 민감도
설계변수의 변경을 통해 유효한 설계안을 도출하려는 경우, 가장 기본적으로 확인하는 것이 바로 민감도 입니다. 예를 들어, 어떤 치수(설계변수)를 1 에서 3 으로 바꿨을 때목표로 하는 고유치(목적함수)가 5Hz 에서 9Hz 로 커지는 경우, 고유치를 9 보다 크게최대화 하는 경우라면 민감도가 (9-5)÷(3-1)로 +2 의 값을 가지기 때문에 해당 치수를3 보다 더 키우는 결정을 내리게 됩니다.
반대로, 고유치를 5 보다 작게 최소화 하는경우라면 민감도는 (5-9)÷(3-1)로 -2 의 값을 가지 때문에 해당 치수를 1 보다 더 작게변경하려고 할 것입니다. 즉, 민감도란 설계변수 변화에 대한 목적함수의 변화율이며, 설계변수를 어떤 방향으로 변경할지 결정하는 기준입니다.
민감도가 상대적으로 클 수록 설계변수 변화는 상대적으로 크게 결정되지만, 절대적인크기까지 결정하지는 못하고 또, 민감도가 설계변수 변화에 따라서도 변하기 때문에, 여러번의 반복과정을 수행해야만 최적의 값을 도출할 수 있습니다.위상최적화에서도 민감도를기반으로 최적화를 진행하기 때문에 여러 번의 반복과정을 수행하여 최적 레이아웃을결정합니다.
[그림 2] 민감도 개념
3-3. 위상 최적화를 이용한 개념 설계절차
위상 최적화의 수행절차는 일반해석절차에 최적화에 필요한 정보를 추가 입력하는 단계를 포함하는 개념입니다. 우선, 일반해석과 동일하게 설계 대상 구조물의 기하형상을 통해 유한요소모델을 작성하고, 요소특성 및 하중/경계조건을 동일한 방법으로 입력합니다. 최적화 때문에 추가적으로 입력해야 하는 조건은 다음과 같습니다.
3-3-1. 목적함수(최적화 종류)
해석종류를 선택하는 것과 유사하며, 위상최적화는 선형 정적해석, 모드해석, 주파수 응답해석을 지원하기 때문에 설계 목적에 적절한 해석 종류를 선택합니다. 예를 들어 정적인 하중들에 대한 강성을 증가시키기 위한 목적이면 선형 정적, 구조물의 고유 주파수를 최대화하기 위한 목적이면 모드해석, 주기적인 동적인하중에 대한 강성을 증가시키기 위한 목적이면 주파수 응답을 선택하는 것이일반적입니다. 해석종류에 따라 선택할 수 있는 목적함수와 제약조건은 아래 표와 같습니다.
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